نوقشت في كلية التربية للبنات – قسم الرياضيات، يوم الاثنين الموافق 17/ 8/ 2026، وعلى قاعة السمنار في عمادة الكلية، رسالة الماجستير المقدمة من الطالبة مريم كريم عبد الستار حسين، والموسومة:
«Stability Analysis and Numerical Solution of the Allen-Cahn Equation Using θ-Finite Difference Method»
هدفت الدراسة إلى إيجاد حل عددي لمعادلة Allen-Cahn باستخدام طريقة الفروق المحددة من نوع θ-Finite Difference Method، فضلًا عن اشتقاق ثلاث طرق عددية خاصة منها، وهي الطريقة الصريحة Explicit Euler، وطريقة Crank-Nicholson، والطريقة الضمنية Implicit Euler، ودراسة استقرار الحلول العددية باستخدام تحليل فون نيومان Von Neumann Stability Analysis، إلى جانب مقارنة الطرق الثلاث من حيث الدقة والاستقرار والتحقق من صحة النتائج باستخدام أمثلة عددية وبرنامج MATLAB.
وتنبع أهمية الدراسة من أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية في نمذجة العديد من الظواهر الفيزيائية والهندسية والكيميائية والبيولوجية، ولا سيما المعادلات غير الخطية التي يصعب الحصول على حلول تحليلية دقيقة لها. وتُعد معادلة Allen-Cahn من المعادلات المهمة في فيزياء الرياضيات، إذ تُستخدم في وصف ظاهرة انفصال الأطوار في المواد متعددة المكونات، فضلًا عن تطبيقاتها في مجالات علم المواد ومعالجة الصور وديناميكا الموائع.
وتناولت الدراسة مفهوم معادلة Allen-Cahn وأهميتها وتطبيقاتها، مع التركيز على الحلول العددية للمعادلة باستخدام عائلة طريقة θ-Finite Difference Method، التي تتيح الحصول على عدد من المخططات العددية اعتمادًا على قيمة المعامل θ.
كما تناولت الدراسة اشتقاق الطرق العددية الثلاث المتمثلة بالطريقة الصريحة Explicit Euler، وطريقة Crank-Nicholson، والطريقة الضمنية Implicit Euler، مع تحليل الاستقرار العددي لكل طريقة باستخدام تحليل فون نيومان، بهدف تحديد شروط الاستقرار ومدى كفاءة كل مخطط عددي في الحصول على حلول دقيقة ومستقرة.
وأظهرت الدراسة أن الطريقة الصريحة Explicit Euler تتمتع باستقرار مشروط، إذ يعتمد استقرارها على تحقق شرط خاص يتعلق بقيمة r، في حين بينت النتائج أن طريقتي Crank-Nicholson وImplicit Euler تتمتعان باستقرار غير مشروط Unconditionally Stable.
كما أظهرت المقارنات العددية أن طريقتي Crank-Nicholson وImplicit Euler حققتا دقة أفضل مقارنة بالطريقة الصريحة، فضلًا عن تمتعهما بخصائص استقرار أكثر ملاءمة عند معالجة معادلة Allen-Cahn.
وأكدت الأمثلة العددية صحة حدود الاستقرار التي جرى اشتقاقها نظريًا للطرق العددية الثلاث، كما بينت النتائج التطبيقية باستخدام برنامج MATLAB كفاءة طريقة θ-Finite Difference Method في الحصول على حلول عددية للمعادلة المدروسة.
وخلصت الدراسة إلى أن اختيار الطريقة العددية المناسبة يمثل عاملًا مهمًا في الحصول على حلول دقيقة ومستقرة لمعادلة Allen-Cahn، وأن طريقتي Crank-Nicholson وImplicit Euler توفران أداءً أفضل من الطريقة الصريحة من حيث الاستقرار والدقة، بما يؤكد فاعلية الطرق العددية المستخدمة في معالجة هذا النوع من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية.
وتألفت لجنة المناقشة من:
* أ.د. فراس عادل فوزي…رئيساً
* أ.م.د. هبة هاني عبد الله… عضواً
* أ.م. أسماء صالح قدوري… عضواً
* أ.م.د محمد عبد محيميد… عضواً ومشرفاً
وفي ختام المناقشة، قررت اللجنة قبول رسالة الطالبة مريم كريم عبد الستار حسين ومنحها درجة الماجستير في الرياضيات، بعد استكمال التعديلات التي أوصت بها اللجنة
